Für Interessierte. Eine Betrachtung der Hutspielertricks aus der mathematischen Trickkiste dieser Krisenmanager.

Das SIR Modell beschreibt grundsätzliche Annahmen des dynamischen Geschehens einer Ausbreitung. Jeder Biologiestudent kennt es aus den ersten Semestern und es ist so alt wie Methusalems Bart.

Die grundsätzlichen Modellannahmen, welche die Infektionsdynamik beschreiben, sind wie folgt:

  • Die Anzahl der ‘Infizierbaren’ Personen (S) wird pro Zeiteinheit (also zum Beispiel ‘pro Tag’) reduziert um die in dieser Zeit Infizierten
  • Die Anzahl der akut Infizierten (I) ist die Anzahl der Neuinfizierten abzüglich Anzahl der Genesenen
  • Ein gewisser Anteil der Infizierten wird pro Zeiteinheit gesund (oder stirbt) (R). Dieser Anteil wird beziffert mit  \gamma 
  • Ein Genesener (oder Gestorbener) steckt nicht mehr an.

Das ist das komplette Modell und sieht mathematisch so aus.

1) \frac{dS}{dt} = -\beta I \frac{S}{N}

2) \frac{dI}{dt} = \beta I \frac{S}{N} - \gamma I

3) \frac{dR}{dt}=\gamma I

Es gilt außerdem N = S + I + R (Daher übrigens der Name)

\gamma ist die Genesungsrate pro Zeiteinheit, \beta ist die Infektionsrate pro Zeiteinheit. Anders ausgedrückt: wie viel Prozent der Infizierten wird wieder gesund (oder stirbt) pro Zeiteinheit ist \beta bezeichnet und wie viel Prozent der Infizierbaren (‘Suszeptibel’) wird infiziert pro Zeiteinheit wird mit \gamma bezeichnet. N ist die Gesamtanzahl aller Menschen, die betrachtet werden.

Die Anfangsbedingungen sind, dass alle Menschen suzeptibel sind, also S (t_0) = N. Um es noch einfacher zu machen, setzt man S = N nicht nur als Anfangsbedingung, sondern auch als Annahme in der dynamischen Betrachtung, weil ja tatsächlich die Prävalenz in der Anfangsphase sehr gering war.

Dieses Modell ist offensichtlich simplifiziert, es unterscheidet nicht zwischen ‘gestorben’ und ‘genesen’; es impliziert eine homogene Verteilung der Suszeptiblen und berücksichtigt ‘normale’ Sterblichkeit als reduzierenden Faktor der Suzeptiblen nicht; geschweige denn irgendwelche epidemiologischen, demographischen oder medizinischen Rahmenparameter. Das Modell findet auch Anwendung in vielen anderen biologischen Modellen. Es ist hoffentlich deutlich geworden, dass es nicht zugeschnitten ist auf epidemiologische Vorgänge und vermutlich geeignet ist, um in Vorlesungen des Grundstudiums ansprechend Grundsätzliches zu vermitteln; aber bestimmt nicht treffend genug, um als Entscheidungsvorlage für Entscheidungen zu dienen, die Milliarden kosten.

Dazu wurde im April 2020 eine Veröffentlichung vom Max Planck Institut geschrieben (im Team Viola Prießmann).

So simplifiziert dieses SIR Modell ist (natürlich existieren komplexe Erweiterungen und man muss sich fragen, warum man nicht darauf zurückgreift), so wenig ist es natürlich brauchbar. Immerhin ist dieses Differentialgleichungssystem mit der genannten Annahme analytisch mit Schulbuchwissen lösbar, eine Fingerübung für Erstsemester. Es konsolidiert intrinsisch und heuristisch sämtliche realen Einflüsse in den beiden Faktoren \beta und \gamma .

Das, was dieses Modell produziert, ist eine Exponentialfunktion. Will man dieses explosionsartige Wachstum (zu dem die Meisten von uns keinen intuitiven Zugang haben) brechen, dann muss man \beta reduzieren, also die Ansteckungsquote. Eine simple und alternativlose Handlungsempfehlung, die sich aus diesem Modell ergibt, nicht eben weil es eine kluge Erkenntnis ist, sondern schlicht, weil es in diesem Modell nur zwei Parameter gibt. Nun haben wir immerhin gelernt, woher der Gebrauch dieses wirklich faschistischen Wortes ‘alternativlos’ herrührt.

Quarantäne und Masken sind dazu das Rezept in Epidemien im Mittelalter … und auch 2020, wieder besseren Wissens ([1], [2]). In 2020 allerdings nun noch erweitert um eine kluge Kommunikationsstrategie mit Hilfe eines zweifelhaften Testverfahrens, welches nach Belieben Horror-Neuinfektionen verkündet, um in einem demokratischen System massive Einschränkungen durchzusetzen.

Wenn man zusätzlich zu diesem nahezu alternativlosen 🙂 Vorgehen parallel noch Krankenhauskapazität reduziert (siehe Krankenhausschliessungen in 2020), erreicht man eine effiziente hollistische Angstinduktion an allen Fronten.

PCR Test und Masken sind zudem eine Gelddruckmaschine für Netzwerker im Bereich der Testverfahren, sowie im Klüngel um die Masken (i.e. Ministerpräsident NRW Laschet). Und für die fleißige Physikerin gibt es Lob und Ehre. Viola Prießmann löst diese Erstsemester Aufgabe und wird dafür, das ist wohl ohne Zweifel, den höchsten Staatsorden erhalten, so etwa wie der Polizist, der sich sekundenlang dem Sturm auf die Demokratie entgegenstellte; so lange bis die Sache ‘im Kasten’ war und die wartende lässige Hundertschaft übernehmen konnte. Krass.

Aus diesem völlig unzulänglichen Modell konnte man naheliegenderweise zwar das epidemiologische Geschen nicht prognostisch abbilden so sehr man auch an den beiden Werte drehte, aber es war/ist offensichtlich gut genug, um immer wieder warnend aufzuzeigen, wie explosionsartig uns diese Seuche abstrafen wird, wenn wir \frac{\beta}{\gamma} nicht unter 1 bekommen; dies ist nämlich der R_e Wert, also die Anzahl der Neuinfektionen, die ein einzelner Infizierter erzeugt.

Insgesamt also ein imposanter Wust an Gleichungen als erhobener mathematischer Zeigefinger, den sich nur Interessierte zu Gemüte führen. Ganz nebenbei ist aktuell dieser Wert schon seit Wochen unter dieser Schwelle; trotz/wegen oder eventuell auch ganz unabhängig von den Lockdown Maßnahmen.

Bei R_0 \frac{S}{N} > 1 ist übrigens Herdenimmunität erreicht und die Zahl der Infizierten fällt beständig. Daraus leitet sich die Annahme ab, daß sich bei COVID19 ab ca. 30% Suszeptiblen Herdenimmunität einstellen wird (i.e. man geht aktuell für COVID19 aus von R_0 \approx 3,6)

 

 

 

 

 

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